Curs de trigonometrie de Spiru Haret

https://blog.revistaderecenzii.com

CAPITOLUL I.

Noțiuni preliminarii și definițiuni.

1. Trigonometria are de obiect a găsì prin calcul elementele necunoscute ale unui poligon, plan sau sferic când se cunoaște un număr suficient din aceste elemente. Această operațiune se numeşte rezolvirea poligonului.

Insă orice poligon poate să se descompună în un număr oarecare de triunghiuri, prin linii duse dintr’un punct oarecare la toate vîrfurile lui; rezolvind aceste triunghiuri, poligonul însuși va fi rezolvit. Prin urmare, obiectul trigonometriei se reduce la rezolvirea triunghiurilor, rectilinii sau sferice. De acì îi vine și numele, precum și diviziunea sa naturală în Trigonometrie plană sau rectilinie şi Trigonometrie sferică.

2. Pentru a rezolvì un triunghiu, este necesar mai întâiu a găsì relațiunile ce există între diferitele sale elemente; astfel că dacă unele din aceste elemente ar fi necunoscute, să le putem aflà prin niște simple rezolviri de ecuațiuni. Insă elementele unui triunghiu sunlaturile și unghiurile lui, cantități neomogene unele cu altele, și de aceea relațiunile ce am puteà găsì între dânsele nu pot fi destul de simple și lesnicioase, pentru a face cu ușurință o rezolvire de triunghiuri. Din această cauză, în trigonometrie, unghiurile se înlocuesc prin niște linii drepte, numite linii trigonometrice și se caută relațiuni, nu între laturile și unghiurile triunghiului, ci între laturi și liniile trigonometrice ale unghiurilor lui.

Când unghiul variează, liniile trigonometrice corespunzătoare variează de asemenea, prin urmare liniile trigonometrice sunt funcțiuni ale unghiului corespunzător. Pe de altă parte, fiindcă aceste linii s’au născut din considerațiunea cercului pe care se măsoară unghiul li s’a dat numirea de funcțiuni circulare directe.

Principiul lui Descartes.

3. Mai înainte de a intrà în studiul liniilor trigonometrice, vom face convențiunea următoare, datorată lui Descartes, care simplifică foarte mult formulele trigonometrice, și înlesnește generalizarea lor.

Fig. 1.Fie XY (fig. 1) o linie indefinită dreaptă sau curbă și O un punct fix pe dânsa numit origină, și dela care se măsoară distanțele. Luăm punctul A pe această linie, și însemnăm distanța OA cu $a$ $a$ . Se admite ca această distanță să se considere ca pozitivă, și să se însemneze cu +, dacă se socotește dela origină într’un sens oarecare, s. ex. la dreapta, în sensul săgeții; și ca negativă cu semnul −, dacă se consideră în sensul opus.

Pentruca poziția punctului A pe linia XY să fie determinată, trebue să se cunoască trei date: 1° poziția pe această linie a punctului fix O, 2° mărimea $a$ $a$ a distanței punctului A dela această origină și 3° sensul în care această distanță este socotită dela originǎ. Inadevăr, dacă cunoaștem poziția originii, pentru a găsì poziția punctului A, la distanța $+ a$ $+a$ dela origină, n’avem decât pe linia XY, în sensul săgeții, să luăm o distanță OA $= a$ $=a$ , și A va fi poziția punctului căutat. Dacă ni s’ar cere să găsim poziția unui punct, situat la distanța $- a$ $-a$ dela origină, am luà distanța OA′ $= a$ $=a$ , în sens contrar săgeții, și punctul căutat ar fi A′.

De acì urmează principiul: Dacă considerăm pe o linie oarecare, dreaptă sau curbă, diferite distanțe măsurate dela o origină comună, fixă pe această linie și dacă voim a le întroduce în calcul, vom afectà cu semnul + valorile numerice ale distanțelor cari sunt îndreptate într’un sens, și cu − pe acele cari vor fi îndreptate în sensul contrar.

Cu toate acestea nu vom pierde din vedere că acest principiu este numai convențional, și că pentru a admite generalitatea unei formule, tot va trebuì a demonstrà cu rigurositate, că ea există în toate ipotezele posibile.

Arcele de cerc.

4. Se știe că un unghiu se măsoară cu arcul descris între laturile sale, cu centrul în vârful unghiului, și cu o rază arbitrară. Astfel, măsura unghiului ABC va fi arcul AC (fig. 2).
Fig. 2.

In trigonometrie, în general unghiurile se înlocuesc cu arcele de cerc cari le măsoară. Aceste arce se măsoară și ele pe un cerc a cărui rază se ia de ordinar ca unitate (R $= 1$ $=1$ ); prin urmare lungimea unui cerc cu raza R fiind $2 π$ $2\pi$ R, în trigonometrie, ea va fi totdeauna egală cu $2 π$ $2\pi$ ; un semicerc va fi $π$ $\pi$ , și un sfert de cerc $\frac{π}{2}$ ${\frac {\pi }{2}}$ .

Fig. 3.Ducând în cerc două diametre perpendiculare AC și BD, (fig. 3) acest cerc va fi împărțit în patru părți egale, numite cadrane, cari poartă fiecare numele de întâiul, al doilea, al treilea, al patrulea cadran.

Fiecare cadran al cercului se împarte în câte 90 părți egale numite grade; fiecare grad se împarte în 60 minute; fiecare minută în 60 secunde. Prin urmare, un cerc întreg are 360 grade, sau 21.600 minute, sau 1.296.000 secunde.

Aceste diferite sub-împărțiri ale cercului, se însemnează respectiv cu °, ′, ″; astfel, un arc de 15 grade 39 minute 51 secunde și 0,4 din o secundă, se însemnează: 15°39′51″,4.

De câtva timp a început să se întrebuințeze o împărțire centesimală a cercului, în locul diviziunii sexagesimale, expusă mai sus. După această nouă diviziune, un cadran se împarte în 100 grade; un grad în 100 minute; o minută în 100 secunde; așa că cercul întreg cuprinde 400 grade, sau 40.000 minute, sau 4.000.000 secunde.

Origina dela care vom socotì arcele pe cerc va fi în general punctul A, la începutul primului cadran. Sensul în care vom considerà arcele ca pozitive va fi cel arătat de săgeată, dela primul către al doilea cadran. Arcele socotite în sensul contrar vor fi privite ca negative. Astfel, arcul AE va fi pozitiv, iar AF negativ.

Arce complimentare și suplimentare.

5. Se numesc arce complimentare, două arce a căror sumă este egală cu un cadran, sau $\frac{π}{2}$ ${\frac {\pi }{2}}$ ; astfel sunt arcele AE și EB, căci $AE + EB = \frac{π}{2}$ ${\mbox{AE}}+{\mbox{EB}}={\frac {\pi }{2}}$ .

Se numesc arce suplimentare două arce a căror sumă este egală cu două cadrane, sau $π$ $\pi$ ; astfel sunt arcele AE și EC, căci $AE + EC = π$ ${\mbox{AE}}+{\mbox{EC}}=\pi$ .